Уравнение баланса мгновенных мощностей

Плотность ЭМ энергии и энергия, сосредоточенная в объеме. Мощность тепловых потерь и сторонних источников. Уравнение баланса для мгновенных значений мощности в дифференциальной и интегральной форме (теорема Умова – Пойнтинга). Физическая трактовка. Мощность, выходящая и входящая из объема через замкнутую поверхность. Вектор Пойнтинга. Мощность на входе приемника. Вектор Пойнтинга изотропного источника.

Средние за период значения энергетических характеристик гармонического ЭМП. Теорема Умова – Пойнтинга для комплексных мощностей. Комплексный вектор Пойнтинга. Уравнения баланса для активных и реактивных мощностей. Физическая трактовка. Скорость переноса энергии ЭМП.

Указания к теме

Поскольку ЭМ форма движения материи подчиняется закону сохранения энергии, непосредственно из системы уравнений Максвелла следует уравнение баланса энергии ЭМП (теорема Умова – Пойнтинга).

Необходимо учесть, что источником ЭМП является сторонняя сила, которую поддерживают посторонние по отношению к исследуемому полю источники. Сторонние источники не зависят от исследуемого поля и вводятся в основные уравнения ЭМП в виде дополнительных слагаемых.

При изучении этой темы важно уяснить физическое содержание каждого слагаемого уравнений баланса энергии как для некоторой области, так и для любой точки пространства. Необходимо рассмотреть различные виды балансов энергии (пассивный, нейтральный, активный) на примере LC-контура, чтобы уяснить связь между вектором Пойнтинга и движением энергии, ее излучением или поглощением, притоком или оттоком, скоростью движения энергии.

При изучении гармонических полей нужно обратить внимание на средние за период энергетические характеристики ЭМП, физическое содержание вещественной и мнимой частей вектора Пойнтинга.

Необходимо уяснить связь вектора Пойнтинга с мощностью, принимаемой антенной в дальней зоне приема, а также понять, почему плотность потока энергии изотропного источника убывает при удалении от него даже при отсутствии потерь в пространстве.

Основные сведения

После преобразования уравнений (2.5)–(2.8) [1–6] получаем дифференциальнуюформу теоремы Умова – Пойнтинга

. (4.1)

После интегрирования по объему (4.1) и преобразований получаем

. (4.2)

Каждое слагаемое в выражении (4.2) имеет размерность мощности

. (4.3)

Уравнения (4.2)–(4.3) позволяют сформулировать теорему Умова –Пойнтинга: «Мощность стороннего источника в данном объеме расходуется на излучение, тепловые потери и изменение запаса энергии ЭМП» [1–3].

Мощность тепловых потерь (потерь проводимости) подчиняется закону Дж. Джоуля – Э. Ленца. Изменение запаса энергии имеет размерность мощности :

, (4.4)

Вектор называется вектором Пойнтинга. По теореме Остроградского – Гаусса [1–3] .

Вектор Пойнтинга указывает направление распространения излучения, а его модуль представляет собой плотность потока мощностиизлучения.

В комплексной форме уравнения (4.2) и (4.3) имеют вид [1]

; (4.5)

, (4.6)

где ; ; ,

а и – энергия магнитного и электрического полей соответственно.

Выражение (4.6) – баланс комплексных мощностей в объеме V.

Рассмотрим баланс ЭМ энергии (4.3) в контуре, представляющем замкнутую электрическую цепь из элементов с сосредоточенными параметрами (рис. 4.1).

Энергия стороннего источника расходуется на тепловые потери, которые сосредоточены в активном сопротивлении Rт, на изменение запаса ЭМ энергии в контуре (электрическая энергия накапливается в емкости C, а магнитная – в индуктивности L), на излучение из контура (элемент взаимной индуктивности Мik с другим контуром и «излучающий конденсатор» – электрический вибратор.

Выделим действительную и мнимую части уравнения (4.6)

; (4.7)

. (4.8)

Действительная часть характеризует перенос энергии через граничную поверхность области V в окрестности точки наблюдения, а мни­мая часть колебание энергии через ту же поверхность [1, 12].

Из выражения (4.7) следует, что средняя мощность стороннего источника тратится на тепловые потери в объеме V и на создание ЭМП за пределами V.

Из выражения (4.8) следует, что реактивная мощность стороннего источника расходуется на создание потока реактивной мощности через границу V и на создание запаса реактивной энергии в объеме V. Реактивная мощность характеризует процесс обмена энергией между источником и цепью. При Pр > 0 энергия запасается в магнитном поле, а при Pр

| следующая лекция ==>
Нормальная составляющая на границе раздела сред претерпевает скачок, равный плотности поверхностного заряда. | Тема 5. волновые уравнения для векторов ЭМП

Дата добавления: 2018-09-24 ; просмотров: 1235 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Расчет сторонних токов и зарядов с помощью уравнений Максвелла. Характеристика электромагнитного поля как одной из форм материи. Составление уравнения баланса мгновенных значений мощности. Расчет скорости распространения электромагнитной энергии.

Рубрика Физика и энергетика
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 21.09.2017
Размер файла 66,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Энергетические соотношения в электродинамике

1. Сторонние токи и заряды

При рассмотрении уравнений Максвелла под вектором j подразумевалась плотность тока проводимости, возникающего в проводящей среде под воздействием электромагнитного поля. Этот вектор удовлетворяет закону Ома в дифференциальной форме. Для рассмотрения реальной электродинамической задачи вводят некоторые токи, которые рассматриваются как первопричина возникновения электромагнитного поля и считаются заданными. Эти токи принято называть сторонними.

Читайте также:  Клей для мембранной кровли

Для учета сторонних токов следует первое уравнение Максвелла представить в виде:

— плотность сторонних токов в рассматриваемой точке пространства, a — как и прежде, плотность тока проводимости, вызванного электромагнитным полем: .

Аналогично сторонним токам вводится понятие сторонних зарядов. Они учитываются в третьем уравнении Максвелла:

где — объемная плотность сторонних зарядов.

Второе и четвертое уравнения Максвелла остаются без изменений. В случае переменных полей функции и связаны уравнением непрерывности

При анализе некоторых задач вместо сторонних токов задается сторонняя напряженность электрического поля . В большинстве случаев при исследовании электродинамических явлений под подразумевается напряженность электрического поля, создаваемого зарядами и токами, расположенными за пределами рассматриваемой области.

2. Уравнение баланса мгновенных значений мощности

Электромагнитное поле является одной из форм материи. Как и любая другая форма материи, оно обладает энергией. Эта энергия может распространяться в пространстве и преобразовываться в другие формы энергии.

Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощности применительно к некоторому объему , ограниченному поверхностью S (рис. 6). Пусть в объеме , заполненном однородной изотропной средой, находятся сторонние источники. Из общих физических представлений очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на джоулевы потери и на изменение энергии электромагнитного поля внутри V, а также может частично рассеиваться, уходя в окружающее пространство через поверхность S. При этом должно выполняться равенство

где -мощность сторонних источников; — мощность джоулевых потерь внутри объема V; мощность, проходящая через поверхность S; W- энергия электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V, a — мощность, расходуемая на изменение энергии в объеме V.

Уравнение (4) дает только качественное представление об энергетических соотношениях. Чтобы получить количественные соотношения, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних токов

Используя известную из векторного анализа формулу , преобразуем левую часть соотношения (6) и заменим его значением из второго уравнения Максвелла

Подставляя это выражение в (4), получаем с учетом

Интегрируя почленно уравнение (6) по объему V, получаем

-вектор Пойнтинга (8)

и преобразуем подынтегральное выражение в последнем слагаемом в правой части (7):

Подставляя (8) и (9) в (5) и меняя порядок интегрирования и дифференцирования, получаем уравнение баланса мгновенных значений мощности электромагнитного поля , называемое теоремой Пойнтинга:

Выясним физический смысл выражений, входящих в уравнение (10).

Следовательно, рассматриваемое 1-е слагаемое представляет собой мощность джоулевых потерь в объеме . Используя соотношение , для можно получить и другие представления:

Формулы (11) можно рассматривать как обобщенный закон Джоуля — Ленца, справедливый для проводящего объема V произвольной формы.

Интеграл в левой части (10) отличается от первого слагаемого в правой части только тем, что в подынтегральное выражение вместо входит . Поэтому он должен определять мощность сторонних источников. Таким образом, мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V, определяется выражением

Для уяснения физического смысла последнего слагаемого в правой части уравнения (10) рассмотрим частный случай. Предположим, что объем V окружен идеально проводящей оболочкой, совпадающей с поверхностью S. Тогда касательная составляющая Е=0. В результате получим

Очевидно, что в рассматриваемом случае мощность сторонних источников может расходоваться только на изменение энергии электромагнитного поля. Таким образом, правая часть равенства (13) представляет собой скорость изменения энергии электромагнитного поля, запасенной в объеме V, т.е. соответствует слагаемому в уравнении (10). Естественно предположить, что интеграл в правой части (13) равен энергии электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V:

Предположим, что электрическое и магнитное поля являются постоянными (не зависят от времени). В этом случае, как известно из курса физики , выражение (16) определяет энергию соответственно электрического и магнитного полей в объеме V. Но это означает, что и указанные выражения определяют мгновенные значения энергии электрического и магнитного полей в объеме V при любой зависимости от времени, а их сумма, определяемая формулой (14), действительно равна мгновенному значению энергии электромагнитного поля в объеме V.

Осталось выяснить физическую сущность поверхностного интеграла в уравнении (10). Предположим, что в объеме V отсутствуют потери и, кроме того, величина электромагнитной энергии остается постоянной (W= const). При этом уравнение (10) принимает вид

В то же время из физических представлений очевидно, что в данном частном случае вся мощность сторонних источников должна уходить в окружающее пространство (). Следовательно, правая часть уравнения (17) равна потоку энергии через поверхность S (пределу отношения количества энергии, проходящей через S за время при ), т.е.

Естественно предположить, что вектор П представляет собой плотность потока энергии (предел отношения потока энергии через площадку , расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии, к при ). Это есть вектор «вектор Умова-Пойнтинга. ток заряд электромагнитный энергия

Читайте также:  Рейтинг зеркальных камер 2018

Энергия может поступать в объем V не только от сторонних источников. Например, поток энергии через поверхность S может быть направлен из окружающего пространства в объем V. При этом мощность будет отрицательной, так как положительным считается поток энергии, выходящий из объема V в окружающее пространство.

Сторонние источники могут не только отдавать энергию, но и получать ее от электромагнитного поля. При этом мощность сторонних источников будет отрицательной. Действительно, электромагнитное поле отдает энергию току проводимости, если оно ускоряет движение заряженных частиц, образующих ток. Для этого вектор напряженности электрического поля должен иметь составляющую, ориентированную вдоль линий тока, т.е. чтобы скалярное произведение векторов и было больше нуля.

Рассмотрим более подробно формулы, определяющие энергию электромагнитного поля. Подынтегральные выражения в и можно интерпретировать как мгновенные значения объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей соответственно, а их сумму — как объемную плотность полной энергии электромагнитного поля.

Принцип суперпозиции, которому удовлетворяют векторы напряженностей электрического и магнитного полей, не распространяется на энергию.

3. Скорость распространения электромагнитной энергии

Из теоремы Пойнтинга (10) следует возможность распространения в пространстве энергии электромагнитного поля. Вычислим скорость, с которой происходит это распространение. Выделим в рассматриваемой части пространства так называемую энергетическую трубку, т.е. трубку на боковой поверхности которой перпендикулярная к ней составляющая вектора Пойнтинга ( ) тождественно равна нулю (рис.7). При этом условии средний за период поток энергии через поперечное сечение трубки при отсутствии джоулевых потерь не изменяется вдоль трубки.

Энергия электромагнитного поля , прошедшая за время через поперечное сечение трубки , будет распределена с плотностью в объеме , ограниченном боковой поверхностью трубки и поперечными сечениями и , находящимися на расстоянии друг от друга (рис. 7). Эта энергия может быть вычислена по формуле

где — некоторое поперечное сечение трубки, расположенное между сечениями и .

Будем называть скоростью распространения энергии предел отношения к при .

При достаточно малых значениях можно считать, что в пределах At вектор Пойнтинга не изменяется. Поэтому наряду с (19) должно выполняться соотношение

где , a — единичный вектор, перпендикулярный к и направленный в сторону . Приравнивая правые части выражений (19) и (20) и переходя к пределу при , находим

При выводе формулы (21) учтено, что в пределе при сечение совпадает с . Если Е и Н, а следовательно, П и не изменяются вдоль сечения , формула (21) упрощается. Так как в этом случае направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением распространения энергии, то

В случае монохроматического поля среднее за период значение скорости распространения энергии определяется формулой

Если значения вектора П и функции одинаковы во всех точках сечения , выражение (23) может быть записано в виде

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Исследование основных свойств монохроматического электромагнитного поля. Поиск комплексных амплитуд при помощи уравнения Максвелла. Графики зависимостей мгновенных значений составляющих полей от координаты. Скорость распространения энергии волны.

курсовая работа [920,3 K], добавлен 01.02.2013

Закон полного тока. Единая теория электрических и магнитных полей Максвелла. Пояснения к теории классической электродинамики. Система уравнений Максвелла. Скорость распространения электромагнитного поля. Релятивистская трактовка магнитных явлений.

презентация [1,0 M], добавлен 14.03.2016

Расчет значений частичных и истинных токов во всех ветвях электрической цепи. Использование для расчета токов принципа наложения, метода узловых напряжений. Составление уравнения баланса средней мощности. Амплитудно-частотная характеристика цепи.

контрольная работа [1,1 M], добавлен 06.11.2013

Расчет токов методом контурных токов, методом узловых потенциалов. Составление баланса мощности. Определение комплексных действующих значений токов. Баланс активных и реактивных мощностей. Уравнения Кирхгоффа в дифференциальной и в комплексной формах.

контрольная работа [226,8 K], добавлен 02.12.2014

Концептуальное развитие основных физических воззрений на структуру и свойства электромагнитного поля в классической электродинамике. Системы полевых уравнений. Волновой пакет плоской линейно поляризованной электрической волны. Электромагнитные поля.

статья [148,1 K], добавлен 24.11.2008

Макроскопическое электромагнитное поле в сплошных неподвижных средах. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга. Применение метода комплексных амплитуд. Волновой характер электромагнитного поля.

реферат [272,7 K], добавлен 19.01.2011

Уравнения Максвелла. Идея о существовании электромагнитного поля. Магнитные явления, закон электромагнитной индукции Фарадея. Следствия уравнения непрерывности. Закон сохранения энергии, сила Лоренца. Дипольное, квадрупольное, магнито-дипольное излучение.

курс лекций [3,9 M], добавлен 07.08.2015

Составление системы уравнений по законам Кирхгофа и представление ее в дифференциальной и символической формах. Построение временных графиков мгновенных значений тока в одной из ветвей и напряжения между узлами электрической цепи. Расчет токов в ветвях.

контрольная работа [128,0 K], добавлен 06.12.2010

Читайте также:  Бензоинструмент штиль официальный сайт цены

Свойства монохроматического электромагнитного поля. Нахождение токов на верхней стенке волновода. Определение диапазона частот, в котором поле является волной, бегущей вдоль оси. Нахождение комплексных амплитуд векторов с помощью уравнения Максвелла.

курсовая работа [1,3 M], добавлен 20.12.2012

Электромагнитные волны, распространяющиеся в линиях передачи. Особенности решения уравнений Максвелла, расчет характеристик электромагнитного поля в проводящем прямоугольном волноводе. Сравнение полученных результатов с установленными по ГОСТ значениями.

курсовая работа [660,7 K], добавлен 23.05.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

I ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Принятые буквенные обозначения основных электрических величин

u, e, i, p -мгновенные значения напряжения, ЭДС, тока и мощности;

U, E, I — постоянные или действующие значения напряжения,

Um, Em, Im — амплитудные значения напряжения, ЭДС и тока;

P,Q,S— активная, реактивная и полная мощности;

R, X, Z— активное, реактивное и полное сопротивления;

G, B, Y— активная, реактивная и полная проводимости;

— комплексы действующих значений напряжения, э.д.с. и тока;

— комплексы амплитудных значений напряжения, э.д.с. и тока;

— комплексы реактивной и полной мощности;

— комплексы полного сопротивления и проводимости;

yu,yi, j— начальные фазы напряжения и тока, разность фаз;

f, w, T— частота, угловая частота, период.

Условные графические обозначения в цепях постоянного и

Синусоидального токов.

— резистор

— индуктивный элемент

(идеальная катушка индуктивности).

C

— емкостной элемент (конденсатор).

— источник постоянной Е, синусоидальной е ЭДС

II РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

Краткие теоретические сведения, методы и примеры расчета.

Основные законы и расчетные формулы.

Закон Ома(Схема1 и 2).

a° I °b a° I °b

Для пассивного участка цепи ab: Для активного участка цепи ab:

,

где: R – сопротивление участка цепи; Uab – напряжение на участке цепи;

E – э.д.с.источника и ток I, протекающий через участок цепи.

Законы Кирхгофа(Схема 3).

Узел — это место соединения трёх и более проводников.

Ветвь — это часть цепи между двумя узлами.

Контур — это любой замкнутый путь электрического тока.

Рисунок 3 демострирует: A,B,C,D-узлы; AB,CD,BC,DA-ветви; ABCDA-контур.

Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю

.

Правило составления уравнений по I закону Кирхгофа

Ток, который втекает в узел, имеет положительный знак,

который вытекает, отрицательный.

Пример: узел C

II Закон Кирхгофа

В каком-либо контуре алгебраическая сумма электродвижущих сил,

действующих в данном контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения, в данном контуре:

Правила составления урвнений по II закону Кирхгофа

Когда направление обхода контура совпадает с направлением тока в сопротивлении, падение напряжения имеет положительный знак +IR, в тоже время имеет отрицательный знак —IR, если направления не совпадают.

Когда направление обхода контура совпадает с направлением э.д.с., имеем положительный знак +E, однако имеем отрицательный знак —IR, если направления не совпадают.

Пример: контур ABCDA

I5 E1 R1 I6

Уравнение баланса мощностей.

Баланс мощностей – заключается в том, что в любом замкнутом электрическом контуре мощность, выделяемая источниками э.д.с. равна мощности, преобразуемой в другие виды энергии потребителями , т.е.

,

где: и .

При этом в генераторном режиме источника направления э.д.с. Еi и тока Ii совпадают по знаку, а в режиме потребителя они противоположны.

Пример: контур ABCDA

Последовательное соединение резисторов(Схема 4).

IR1

°

U1

U U3 U2 R2

°

В этом случае единственный ток I протекает через все резисторы .

Согласно второму закону Кирхгофа имеем:

,

откуда

и наконец (эквивалентное сопротивление).

Для n последовательно включенных сопротивлений будет:

.

Параллельное соединение резисторов (Схема 5).

Единственное напряжение U приложено ко всем сопротивлениям .

Согласно первому закону Кирхгофа имеем:

,

откуда .

° – –

U I1 I2 I3

R1 R2 R3

° I– –

Введём понятие проводимости, величины обратной сопротивлению

Тогда для n включённых паралельно сопротивлений будет:

.

Если имеем только два включённых паралельно сопротивления , то расчет эквивалентного сопротивления ведем исходя из

,

откуда .

Методика решения задач.

2.2.1. ЗАДАЧА №1.

В изображенной схеме электрической цепи э.д.с. и сопротивления резисторов — известны. Определить токи в ветвях. (Задачу решить в общем виде).

Схема электрической цепи

Решаем задачу методом эквивалентного сопротивления.

1) Расчет эквивалентного сопротивления.

Сопротивления и включены последовательно и по известной формуле находим их эквивалентное сопротивление

.

При параллельном включении пассивных ветвей их эквивалентное сопротивление находим как

.

И тогда эквивалентное сопротивление всей цепи будет

.

Ток в неразветвленной части цепи находим согласно закону Ома

.

Для расчета токов в ветвях целесообразно найти напряжение на разветвлении

.

И наконец находим токи в пассивных ветвях:

, .

2.2.2. ЗАДАЧА №2.

В изображенной схеме электрической цепи известны:

, , , , .

Определить: токи в ветвях, используя различные методы расчета.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *